Двоичная система счисления

Десятичная (основанная на десяти) система счисления имеет 10 возможных значений (0,1,2,3,4,5,6,7,8 или 9) для каждого поместного значения. Двоичная система счисления (основанная на двух), в свою очередь, имеет два возможных значения каждого поместного значения – 0 или 1. Так как двоичная система является внутренним языком компьютеров, то серьезные программисты должны понимать, как переводить из десятичной системы счисления в двоичную, о чем вам и расскажет данная статья.

Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное.

Есть два метода перевода десятичного числа в двоичное.

Первый метод: Сокращенное деление с остатком

1) Поставьте задачу. Для этого примера давайте переведем десятичное число 17210 в двоичную систему. Запишите десятичный номер как делимое в «делении столбиком» (слева), затем запишите основание «2» как делитель, то есть справо от знака деления.

  • Этот метод гораздо проще понять, когда вы видите все вычисления на бумаге. Кроме того, этот метод, основанный на делении на 2, еще и довольно прост для понимания начинающих.
  • Чтобы не путать числа до и после перевода, стоит записывать основание системы, в которой вы работаете, рядом с каждым соответствующим числом. Тогда десятичные числа будут записываться с базовым индексом 10, а двоичные – с базовым индексом 2, соответственно.

2) Выполните действие деления. Запишите целый ответ (частное) под знаком деления, а остаток (0 или 1) запишите под частным.

  • Так как мы сейчас делим на 2, то, когда делимое четное, двоичный остаток будет равен 0, а когда делимое нечетное, то двоичный остаток будет равен 1.

3) Продолжайте двигаться вниз, деля каждое новое частное на два и записывая остатки под каждым частным. Остановитесь, когда частное будет равно 0.

4) Запишите новое, бинарное число. Прочитайте последовательность остатков, начиная с последнего остатка. В нашем примере у вас должно было получиться 10101100. Это двоичный эквивалент десятичного числа 172. Это же число, записанное с базовыми индексами, выглядит так: 17210 = 101011002

  • Этот метод может быть изменен для переведения из десятичной в «любую» систему. Мы использовали делитель 2, так как переводили в двоичную систему. Если бы мы хотели перевести наше число в девятиричную систему, то есть в систему с основанием 9, то делили бы на девять, а не на два. В результате мы бы получили число в желаемой системе.

Второй метод: Сравнение уменьшающихся степеней и вычитание

1) Начните с создания таблицы. Запишите значения числа 2 в той или иной степени, ведя запись справа налево. Начните с 20, дав ей значение "1". Увеличивайте показатель степени на единицу для каждой степени. Продолжайте работу над списком, пока не получите число, которое находится очень близко к тому, с которым вы работаете. Допустим, мы работаем... снова с числом 17210, переводя его из десятичной в двоичную систему счисления.

2) Вычислите самую большое значение степени, помещающееся в число, которое вы хотите перевести в двоичную систему. Какое наибольшее значение степени двойки поместится в 172? Число 128 (2 в седьмой степени) помещается, поэтому самый левый знак двоичной записи будет 1. Далее вам нужно вычесть 128 из 172, что будет равняться 44.

3) Переходите к следующей степени двойки. Итак, теперь мы работаем с числом 44. Давайте посмотрим по нашему списку, какая следующая степень двойки может поместиться в число 44? 44 помещается в 64? Нет, значит следующий знак в двоичной записи (справа от первого) – 0. Продолжать нужно до тех пор, пока вы не найдете число, которое все же поместится в 44.

4) Вычитайте каждое следующее помещающееся число, отмечайте его цифрой "1". Итак, 32 помещается в 44, поэтому давайте запишем цифру 1 под ним и вычтем 32 из 44. Результат равен 12, а в это число не помещается число 16 значит пишем 0. Так теперь число 8 помещается в число 12. Соответственно, надо записать цифру 1 под 8, а затем вычесть 8 из 12, что будет равняться 4.

5) Продолжайте вычитать, пока не дойдете до конца таблицы. Не забывайте отмечать цифрой "1" все те числа, которые помещаются в ваше новое число, и цифрой "0" все те, которые не помещаются.

6) Запишите получившееся двоичное число. Это число будет точно таким же, какой будет последовательность нулей и единиц в нашей таблице, если читать ее слева направо. У вас должно было получиться 10101100. Это двоичный эквивалент десятичного числа 172. Или, если записывать с базовыми индексами: 17210 = 101011002.

  • Повторяя этот метод, вы запомните степени двойки, что позволит вам пропустить первый шаг данного руководства

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 1012 = 1*22+ 0*21 + 1*20= 4+0+1 = 510.

Самостоятельная работа

Переведите число в двоичный код:

  1. 3310
  2. 19110
  3. 89210
  4. 253610

Переведите из двоичной системы счисления в десятичную:

  1. 11012
  2. 1010012
  3. 100001002
  4. 11111111112
 
Ответы

 

Коментарии:



Добавить комментарий:

Вы должны войти в систему, чтобы оставить комментарий.